KOORDINAT KARTESIUS

Kompetensi Dasar:
3.2 Menjelaskan kedudukan titik dalam bidang koordinat Kartesius yang dihubungkan dengan masalah kontekstual.
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kedudukan titik dalam bidang koordinat Kartesius.

 

Materi:

A.      Sistem Koordinat

Koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan objek titik-titik pada suatu bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut dengan koordinat x dan koordinat y dari titik-titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah tegak lurus satu sama lain (sumbu X dan sumbu Y), dan panjang unit yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut. Kedua sumbu tersebut terletak dalam satu bidang. Sumbu horizontal (mendatar) diberi nama X dan sumbu vertikal (tegak) diberi nama Y.

Titik potong sumbu X dan sumbu Y disebut titik asal. Titik ini dinyatakan sebagai titik nol. Pada sumbu X dan sumbu Y terletak titik yang berjarak sama. Pada sumbu X, dari titik nol ke kanan dan seterusnya merupakan bilangan positif, sedangkan dari titik nol ke kiri dan seterusnya merupakan bilangan negatif. Pada sumbu Y, dari titik nol ke atas merupakan bilangan positif, dan dari titik nol ke bawah merupakan bilangan negatif. Untuk koordinat x disebut absis dan koordinat y disebut ordinat.

       Perhatikan gambar berikut.

       

Dalam bidang koordinat di atas, Titik P memiliki koordinat (-2, 1), koordinat x : -2, koordinat y : 1. Titik Q memiliki koordinat (2, 3), koordinat x : 2, koordinat y : 3.

                       Posisi titik pada koordinat Kartesius ditulis dalam pasangan berurut (x, y). Bilangan x menyatakan jarak titik itu dari sumbu Y dan bilangan y menyatakan jarak titik itu dari sumbu X.

Dalam bidang koordinat Kartesius sumbu X dan sumbu Y membagi bidang koordinat menjadi 4, yaitu:

1.    Kuadran I: Koordinat x positif dan koordinat y positif.

2.    Kuadran II: Koordinat x negatif dan koordinat y positif.

3.    Kuadran III: Koordinat x negatif dan koordinat y negatif.

4.    Kuadran IV: Koordinat x positif dan koordinat y negatif.

B.       Menentukan Posisi Titik

1.    Posisi Titik Terhadap Sumbu X dan Sumbu Y

            Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar di atas dapat ditulis posisi titik-titik, sebagai berikut:

Titik A berjarak 3 satuan dari sumbu Y dan berjarak 6 satuan dari sumbu X.

Titik B berjarak 4 satuan dari sumbu Y dan berjarak 4 satuan dari sumbu X.

Titik C berjarak 4 satuan dari sumbu Y dan berjarak 3 satuan dari sumbu X.

Titik D berjarak 6 satuan dari sumbu Y dan berjarak 5 satuan dari sumbu X.

Titik E berjarak 5 satuan dari sumbu Y dan berjarak 5 satuan dari sumbu X.

Titik F berjarak 3 satuan dari sumbu Y dan berjarak 3 satuan dari sumbu X.

Titik G berjarak 2 satuan dari sumbu Y dan berjarak 6 satuan dari sumbu X.

Titik H berjarak 6 satuan dari sumbu Y dan berjarak 5 satuan dari sumbu X.

 

2.    Posisi Titik Terhadap Titik Asal (0, 0)

                Menentukan posisi titik terhadap titik asal sama dengan menentukan posisi titik terhadap sumbu X dan sumbu Y, namun ada titik acuannya yaitu titik asal/ pusat koordinat. Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar di atas dapat ditulis posisi titik-titik, sebagai berikut:

Posisi titik A terhadap titik asal (0, 0) adalah (-4, 3).

Posisi titik B terhadap titik asal (0, 0) adalah (5, 5).

Posisi titik C terhadap titik asal (0, 0) adalah (4, 0).

Posisi titik D terhadap titik asal (0, 0) adalah (-5, -6).

 

           3.    Posisi Titik Terhadap Titik Tertentu (a, b)

              Menentukan posisi titik terhadap titik tertentu sama halnya dengan menentukan posisi titik terhadap titik asal, sama juga dengan kita menentukan posisi suatu lokasi pada sebuah peta atau daerah, namun titik acuannya bukan merupakan titik asal/ pusat koordinat melainkan sebuah titik lain. Perhatikan gambar berikut.

Untuk menentukan posisi sebuah titik terhadap titik tertentu dalam bidang koordinat Kartesius, kita harus membuat sumbu koordinat yang baru (sumbu X dan sumbu Y) di mana pusat koordinatnya merupakan titik acuan tersebut.

Contoh:

a.    Tentukan koordinat titik A terhadap titik B.

b.    Tentukan koordinat titik C terhadap titik D.

Jawab:

a. Langkah pertama menentukan titik acuannya, yaitu titik (5, 5). Setelah itu, tentukan koordinatnya. Jadi, koordinat titik A(-4, 3) terhadap titik B(5, 5) adalah A’(-9, -2).

b. Langkah pertama menentukan titik acuannya, yaitu titik (-5, -6). Setelah itu, tentukan koordinatnya. Jadi, koordinat titik C(4, 0) terhadap titik D(-5, -6) adalah C’(9, 6).

 

Dengan Rumus: Jika diketahui titik A(xA, yA) dan titik B(xB, yB), maka posisi atau koordinat titik A terhadap titik B adalah A'(xA - xB, yA - yB).

 

Menyelesaikan contoh a dan b dengan rumus:

a.    Koordinat titik A(-4, 3) terhadap titik B(5, 5) adalah:

A'(-4 - 5, 3 - 5) = A'(-9, -2)

b.    Koordinat titik C(4, 0) terhadap titik D(-5, -6) adalah:

      C'(4 - (-5), 0 - (-6)) = C'(9, 6)

 

klik download untuk menngunduh materi

klik watch untuk menonton video pembelajaran

SOAL DAN PEMBAHASAN MATERI ATURAN PENCACAHAN KELAS XII

     Soal

1. Bayu mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merk yang berbeda, dan 4 baju yang berlainan coraknya, serta 3 celana yang berbeda warna. Berapa banyak cara berpakaian Bayu dengan penampilan berbeda?
2. Dari 9 peserta Olimpiade Matematika Tingkat Kabupaten, akan dipilih 3 juara, yaitu juara 1, juara 2 dan juara 3. Berapa banyak susunan juara berbeda yang dapat dibentuk?
3. Dari kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur seperti pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari kota A ke kota D?

            

           Pembahasan:

     

      

SOAL DAN PEMBAHASAN MATERI PERPANGKATAN KELAS IX

 

Menentukan Nilai, Domain dan Range Suatu Fungsi, serta Menggambar Sketsa Grafik Suatu Fungsi

1. Definisi Fungsi
Sebuah fungsi f dengan nilai real yang didefiinisikan pada himpunan bilangan real D adalah aturan yang memetakan setiap bilangan x yang berada dalam D ke tepat satu bilangan real, dinyatakan dengan f(x). Himpunan D yang beranggotakan seluruh bilangan di mana f(x) didefinisikan disebut domain atau daerah asal fungsi r. Bilangan f(x) yang merupakan fungsi dari x disebut nilai f pada bilangan (titik) x. Sedangkan himpunan semula nilai y = f(x) disebut range  dari f.

2. Nilai Suatu Fungsi
Nilai suatu fungsi f(x) untuk x = a dinyatakan dengan simbol f(a). Jika
y = f(x) = x2 + 10x + 5
maka nilai f (x) untuk nilai x berturut-turut dimana x = 0, 2,-3 adalah
f(0) = 0 + 0 + 5 = 5
f(2) = 22 + 10(2) + 5 = 29
f(-3) = (-3)2 + 10(-3) + 5 = -16
Kita akan sering menggunakan variabel y untuk mewakili nilai fungsi f(x) dengan menyatakan y = f(x). Jadi, untuk f(0) = 5, f(2) = 29, f(3) = -16 kita katakan juga sebagai y = 5, y = 29, y = -16.

3. Domain dan Range Fungsi
Domain: Himpunan D yang beranggotakan seluruh bilangan real x (variabel bebas) yang untuknya f(x) didefinisikan disebut domain (daerah asal) fungsi f.
Range: Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai y = f(x) dari fungsi f.

Contoh:
Tentukan domain dan range dari fungsi!
y = f(x) = x2 + 10x + 5 dimana -2 < x < 2
Penyelesaian:
Domain fungsi ini adalah semua nilai x yang terletak antara -2 hingga 2. Artinya, kita mendefinisikan fungsi f(x) = x2 + 10x + 5 dalam selang -2 < x < 2. Untuk melihat range fungsi ini, buatlah tabel nilai x dan y = f(x), dimana x berada dalam selang -2 < x < 2. Hasilnya sebagai berikut:

x
-2
-1
0
1
2

y = f(x)
-11
-4
5
16
29

Dari tabel di atas, kita lihat bahwa nilai y terkecil adalah -11 yaitu ketika x = -2 dan nilai y terbesar adalah 29. Jadi, range fungsi ini adalah semua nilai y yang berada antara -11 dan 29  atau dalam notasi himpunan ditulis {y | -11 < y < 29}.

4. Menggambar Sketsa Grafik Suatu Fungsi
Selain dengan tabel, kita juga dapat mengetahui range fungsi ini dengan membuat grafiknya dan melihat nilai y terkecil dan terbesar pada sumbu vertikal. Dari contoh di atas, dapat kita gambarkan sebuah grafik fungsi sebagai berikut.

DAFTAR PUSTAKA

J. Purcell, Edwin. Dale Varberg. 1984. Kalkulus dan Geometri . Jakarta: Erlangga.
Rajali, Muhammad. Mahmud, Faridawaty. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor: Ghalia Indonesia.